El objetivo de estos apuntes es presentar un avatar de curvas elípticas y sus moduli en el caso de cuerpos de funciones, i.e., extensión finitas separables de anillo polinomios con coeficiente en un cuerpo finito de \(q\) elementos, \(\mathbb F_q\).

1 Recuerdo: curvas modulares

La curvas modulares son la compactificación del moduli de curvas elípticas con estructura de nivel. Tenemos asociada una curva semi-abeliana \(E\) sobre \(X\), extendiendo la curva elíptica universal del problema de moduli original. Esta curva juega un clave en el estudio de las formas modulares. De hecho ellas se pueden expresar en términos geométricos de la siguiente manera. Definimos \(\omega \) por \(e^*\Omega ^1_{E/X}\), donde \(e\) la sección de \(E\) sobre \(X\).

Haz de líneas

Secciónes globales

Formas modulares

\(\omega \)

\(H^0(X,\omega )\)

\(H^0(X,\omega )\otimes \mathbb {C}\)

Todo lo anterior es trabajando sobre el anillo de los enteros. En teoría de números es una buena practica estudiar los fenómenos análogos. Es una practica fructífera buscar objetos análogos a estos y buscar responder preguntas similares en esta nueva perspectiva. El contexto que nos situaremos será en de cuerpos de funciones, que discutiremos en la siguiente sección.

2 Cuerpos de funciones

Un cuerpo de funciones es una extensión de cuerpos finita separable de \(\mathbb F_q(T)\). Como en el caso de cuerpo de números, cada extensión tiene un anillo enteros. Estos anillos tiene propiedades similares a los anillo de enteros de cuerpo de números, por ejemplo, son de dimensión \(1\), normal, etc... Es bueno siempre tener en mente el cuerpo \(\mathbb F_q(T)\) y su anillo de enteros \(\mathbb F_q[T]\). En este caso las analogías son las siguientes

Enteros

Funciones

Geometría

\(\mathbb {Z}\)

\(\mathbb F_q[T]\)

\(\mathbb A^1_{\mathbb F_q}\)

número primo \(p\)

\(T\)

origen

\(\mathbb Q\)

\(\mathbb F_q(T)\)

punto genérico \(\mathbb {P}^1_{\mathbb {F}_q}\)

\(\mathbb Q_p\)

\(\mathbb F_q((T))\)

completación en el origen

\(\mathbb R\)

\(\mathbb F_q((T^{-1}))\)

completación en \(\infty \)   !!

Una particularidad del cuerpo de funciones es que se pueden interpretar como el cuerpo de funciones de una curva algebraica propia, por ejemplo, \(\mathbb F_q(T)\) es el cuerpo de funciones de \(\mathbb {P}^1_{\mathbb F_q}\). Más aún, \(\operatorname {Spec}(\mathbb F_q[T])\) se puede identificar con el abierto \(\mathbb {P}^1_{\mathbb {F}_q}\setminus \{ \infty \} \).

3 Módulos de Drinfeld

Los objetos que jugaran el rol de curvas elípticas en el contexto de cuerpos de funciones son los módulos de Drinfeld de rango dos. Si bien no discutiremos en detalle porque estos objectos son los análogos a las curvas elípticas, esperamos que que las propiedades que expondremos y sus ejemplo tenga sabor a lo que pasa en el contexto de curvas elípticas.

Comenzamos con una construcción básica, seguiremos la definición que aparecen en [ 1 ] . Sea \(S\) un esquema sobre \(\mathbb F_q\). Para todo haz de linea \(\mathcal{L}\) de \(S\), denotamos el morfismo de haz de lineas

\[ \tau \colon \mathcal{L} \to \mathcal{L}^{\otimes q} : (l\mapsto l^{\otimes q}). \]

Este morfismo de \(\mathcal O_S\)-módulos induce un morfismo de \(S\)-esquemas

\[ \tau \colon \mathbb V(\mathcal L^{\vee })\to \mathbb V((\mathcal L^{\otimes q})^\vee ), \]

donde \(\mathbb V(\mathcal L )=\operatorname {Spec}(\operatorname {Sym}(\mathcal{L}))\). Notar el abuso de notación, denotamos el morfismo de \(S\)-esquemas y el de \(\mathcal O_S\)-módulos de la misma manera.

Ejemplo 3.1

Consideremos el caso \(S=\operatorname {Spec}(R)\) y \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_S\). Entonces \(\mathbb V(\mathcal O_S^\vee )=\mathbb A_S^1=\operatorname {Spec}(R[T])\) y el morfismo de \(R\)-algebras asociado a \(\tau \) está dado determinado por

\[ T\mapsto T^p. \]

En este apunte nos focalizaremos en definir los módulos de Drinfeld estándar. El autor de este apunte le gusta pensarlos como el análogo de la forma de Weierstrass de la curvas elípticas, en el caso de módulos de Drinfeld.

Definición 3.2

Un \(A\)-modulo de Drinfeld de rango \(2\) sobre \(S\) es un par \((\mathcal L,\varphi )\), donde \(\mathcal{L}\) es un haz de linea de \(S\) y \(\varphi \) es un \(\mathbb F_p\)-homomorfismo \(A\to \operatorname {End}_S(\mathbb {V}(\mathcal{L}^\vee ))\) tal que para todo \(a\in A-\{ 0\} \)

\[ \varphi (a)=\sum _{i=0}^{2\dim _{\mathbb F_p}(A/(a))}\alpha _i(a)\tau ^i \]

donde \(\alpha _i(a)\in \mathcal{L}^{(1-p^i)}(S)\) y \(\alpha _{2\dim _{\mathbb F_p}(A/(a))}(a)\) nunca se anula en \(S\).

Ejemplo 3.3

Consideramos el caso de \(S=\operatorname {Spec}(R)\), \(A=\mathbb F_p[T]\) y \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_S\). En este caso dar un morfismo de Drinfeld se reduce a la información dada por

\[ \varphi (T)=\alpha _0(T) +\alpha _1(T)\tau +\alpha _2(T)\tau ^2, \]

donde, para todo \(i\), \(\alpha _i(T)\in R\) y \(\alpha _2(T)\) es invertible. De hecho, calculemos \(\varphi (T^2)\):

\begin{align*} \varphi (T^2)& = \varphi (T)\cdot \varphi (T)\\ & =(\alpha _0(T) +\alpha _1(T)\tau +\alpha _2(T)\tau ^2)(\alpha _0(T) +\alpha _1(T)\tau +\alpha _2(T)\tau ^2)\\ & =\alpha _0(T)^2 +[\alpha _0(T)\alpha _1(T)+\alpha _0(T)^p\alpha _1(T)]\tau + \\ & [\alpha _0(T)\alpha _2(T)+\alpha _0^{p^2}(T)\alpha _2(T)+a_1(T)a_1(T)^p]\tau ^2+\\ & [\alpha _1(T)\alpha _2(T)^p+\alpha _1(T)^{p^2}\alpha _2(T)]\tau ^3+a_2(T)a_2(T)^{p^4}\tau ^4. \end{align*}

Notamos que \(2\dim A/(T^2)=4\) y que \(a_4(T^2)=a_2(T)a_2(T)^{p^4}\) nunca se anula (\(a_2(T)\) nunca se anula). Queremos resaltar la multiplicación de la expresiones son no conmutativa, esto se puede notar viendo que los coeficientes tiene un termino elevado a la \(p\), por ejemplo \(a_2(T)a_2(T)^{p^4}\tau ^4\), en vez de \(a_2(T)^2\tau ^4\).

Observación 3.4

  • El morfismo \((a\mapsto \alpha _0(a))\) define \(\theta _{(\mathcal{L},\varphi )}\colon S\to \operatorname {Spec}(A)\). Llamaremos este morfismo la característica de \((\mathcal{L},\varphi )\).

  • Observamos también que por definición tenemos que, si dotamos a \(\mathbb V(\mathcal L^\vee )\) con la estructura de grupo natural, entonce \(\varphi (a)\) es un homomorfismo de grupos para todo \(a\in A\).

Usualmente, para achicar la notación, denotamos por \(E\) al fibrado de líneas \(\mathbb V(\mathcal{L}^\vee )\). Denotamos por \(0\colon S\to \mathbb V(\mathcal{L^\vee })\) la sección trivial de \(\mathbb V(\mathcal L^\vee )\), i.e., el morfismo que corresponde a \(0\in \mathcal{L}^\vee \) usando la propiedad universal: \({\rm Hom}(S,\mathbb V(\mathcal{L}^\vee ))=H^0(S,\mathcal{L}^\vee )\). Ahora, siguiendo la analogía con curvas elípticas definimos.

Definición 3.5 Torsión

Sea \(I\) un ideal no cero de \(A\). La \(I\)-torsión de un modulo de Drinfeld \((\mathcal L,\varphi )\) es

\[ \bigcap _{a\in I} \ker (\varphi (a))\subset \mathbb V(\mathcal{L}^\vee ). \]

La denotaremos por \(\mathbb V(\mathcal{L}^\vee )[I]\).

Ejemplo 3.6

Consideramos el caso de \(S=\operatorname {Spec}(R)\), \(A=\mathbb F_p[T]\), \(I=(T)\) y \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_S\).

\[ \mathbb V(\mathcal{L}^\vee )[I]=\ker (\varphi (T))=\ker (r\mapsto \alpha _0(T)r +\alpha _1(T)r^p+\alpha _2(T)r^{p^2}). \]

Este ejemplo ilustra que la torsión está contenida en la información de divisores de \(\mathbb V(\mathcal{L}^\vee )\).

4 Curva modular de Drinfeld

Sea \(I\) un ideal no cero de \(A\). Consideramos el moduli de módulos de Drinfeld (estándares), esto es, la categoría fibra por esquemas de grupoide tal que

\[ Y_I(S)=\Bigg\{ \begin{matrix} \text{$(\mathcal{L},\varphi ,\iota )$ : donde $(\mathcal{L}, \varphi )$ es un módulo de Drinfeld de rango $2$ over $S$ con } \\ \text{característica fuera de $I$a y donde $\iota $ es una estructura de $I$-nivel en $(\mathcal{L},\varphi )$} \end{matrix}\Bigg\} . \]

Clarificamos que un \(A\)-módulo de Drinfeld \((\mathcal{L},\varphi )\) tiene la característica fuera de \(I\), significa que \(\theta _{(\mathcal{L},\varphi )}^{-1}(V(I))=\emptyset \). Una estructura de \(I\)-nivel para un tal \(A\)-módulo de Drinfeld \(E=\mathbb V(\mathcal{L}^\vee )\) es un isomorphism \(\iota \colon (I^{-1}/A)^2_S \cong E[I]\). Finalmente, si bien no definiremos la noción de morfismo entre \(A\)-módulos de Drinfeld, queremos mostrar el aspecto de grupoide en la siguiente observación

Observación 4.1

Consideramos el caso \(A=\mathbb F_q[T]\) y \(S=\operatorname {Spec}(k)\), donde \(k\) es un \(\mathbb F_q\)-cuerpo. Para un tal \(S\), todos los haces invertibles son triviales. Ahora, dos módulos de Drinfeld \((\mathcal{O}_S,\varphi )\) y \((\mathcal{O}_S,\varphi ')\) si \(\alpha _0(T)=\alpha _0'(T)\) y existe \(t\in k^\times \) tal que \(\alpha _1'(T)=t^{q-1}\alpha _1(T)\) y \(\alpha _2'(T)=t^{q^2-1}\alpha _2(T)\).

Teorema 4.2

Si \(I\neq A\), entonces \(Y_I\) es representable por un esquema afín de tipo finito sobre \(A\). Adémas, el morfismo de esquemas inducido por \((\mathcal{L},\varphi )\mapsto \theta _{(\mathcal L,\varphi )}\),

\[ p_I\colon Y_I \to \operatorname {Spec}(A)-V(I) \]

es suave de dimensión relativa \(1\).

Proof â–¼

Veremos el caso \(A=\mathbb F_q[T]\). La información nos fija una triavialización de \(\mathcal{L}\). En el caso de haces invertible, una trivisalización se corresponde a un elemento no nulo del haz de linea \(\mathcal{L}.\) En este caso tenemos que la categoría fibrada en grupoides es de hecho fibra en conjuntos. Más aún, vemos que un módulos de Drinfeld \((\mathcal O_S,\varphi )\) esta determinado por \(\varphi (T)\), esto nos d que...

Finalmente,

Ejemplo 4.3
Observación 4.4

Teorema nos dice que \(Y_A\) es un campo de Deligne-Mumford. Más aún, la observación sugiere que \(Y_A\) es el campo cociente \([\mathbb G_m \backslash \operatorname {Spec}(A)\times \mathbb A^1\times \mathbb G_m]\), donde la acción \(t\cdot (x,a,b)=(x,t^{q-1}a,t^{q^2-1}b)\) y así su campo grueso sería

\[ \operatorname {Spec}(A\otimes \mathbb F_p[X,Y,Y^{-1}]^{\mathbb G_m})=\operatorname {Spec}(A\otimes \mathbb F_p[X^{q+1}/Y])\cong \mathbb A^1_{A}. \]

Como en el caso de curvas élipticas, esta construcción esta asociada a la \(j\)-invariante.

En este apunte solo vimos los aspectos geométricos algebraicos, para más información sobre su relación con “artimética" consultar el apunte [ 3 ] y para sus relación con formas modulares de Drinfeld ver [ 1 ] .

Referencias

1

Shin Hattori. On the compactification of the Drinfeld modular curve. Journal of Number Theory Volume 232, March 2022, Pages 75-100

2

Gérard Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties. Part I. Geometry, counting of points and local harmonic analysis, Cambridge University Press.

3

Bjorg Poonen, Introduction to Drinfeld modules, https://math.mit.edu/ poonen/papers/drinfeld.pdf.